さわれる大学数学

ピンボケのハッブル望遠鏡を救った数学

銀河の写真を、指でぼかして、計算で戻す。

修正前のハッブルが撮った銀河M100の中心部。星がにじんでいる 修正後のハッブルが撮った同じ場所。星が点に写っている 1993年 修正前修正後

M100の中心部。左：修正前のカメラWFPC1（NASA, ESA, Judy Schmidt）、右：修正後のWFPC2（NASA, ESA, J. DePasquale (STScI)）。境目を指で左右に動かせます。

ゲーム1　ぼやけた写真、なーんだ？

粗い縞だけでも、写真の形はほとんど分かります。細かい縞は、輪郭やくっきりした所を足しています。ピンボケは、この細かい縞が消えた写真です。ゲーム2で、それを戻してみましょう。

ゲーム2　ピンボケを直せ！

★ と ○ を重ねよう
ぼけた写真
直した写真

本物のハッブルでも、研究者は星の写り方から望遠鏡の癖 k を求めて、写真を戻しました。癖が正しくても、ノイズのある写真を「そのまま割る」と砂嵐になります。0 に近い倍率で割った細かい縞のノイズが、何千倍にも膨らむからです。「割りすぎない」（ウィーナーフィルタ）は、その膨らみを抑える工夫です。

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フーリエ解析の世界へ

ここからは、ハッブルの話から少し離れて、ゲームで使った数学がどんな分野の一部なのかを案内します。大学では「フーリエ解析」と呼ばれる分野で、微分積分の次に学ぶ、応用の広い分野です。

見取り図

フーリエ解析は、「形を、波（三角関数）の足し算として見る」という一つの考えから育った分野です。何を波に分けるかで、三つの形があります。

フーリエ級数：くり返す形を、波の足し算で書く

同じ形をくり返す関数（周期関数）は、ふつうにグラフに描けるような形なら、ほぼどれでも、sin と cos の波を足し合わせて書けます。四角い波も、とがった波も、なめらかな波の和です。項の数を増やすと、和がだんだん元の形に近づきます。ゲーム1で写真に縞を足していったのは、これを平面でやったものです。

━ 元の形　━ 波の和

四角い波では、項をいくら増やしても、角のすぐ横に、段差の大きさの約9%の飛び出しが残ります（ギブズ現象）。和の形は近づくのに、角の近くだけはうまくいかない。こうした「どういう意味で近づくのか」を正確に扱うのが、大学の講義の中身の一つです。

波の強さは「掛けて足す」ではかる

四角い波に、何番目の波がどれだけ入っているかは、元の形とその波を掛けて、一周分を足し合わせる（積分する）とわかります。ラジオのつまみを局に合わせるのと同じで、ぴったり合う波のときだけ大きな値が出ます。下で波の番号を選ぶと、掛けた結果のグラフと、その面積から決まる波の強さ（面積を π で割った数）が出ます。

━ 元の形　━ sin(nx)　■ 掛けたもの（上は足し、下は引く）

四角い波では、偶数番目の波を掛けると、上と下の面積がちょうど打ち消して 0 になります。奇数番目では打ち消しきれずに残り、その大きさは 1/n に比例して小さくなります。違う番号の sin どうしを掛けて一周足すと、いつも 0 になります。この性質を直交といいます。直交しているから、一つずつ別々に強さをはかれるのです。これはベクトルの内積と同じ考え方で、大学の線形代数とつながります（ブログ：三角関数の直交性とは、関数の「空間・基底・内積」を使ったフーリエ級数展開）。

係数（波の強さ）は、次の式ではかります。

一般の形では cos の項と定数の項も入ります。式の積分は、「全部の場所について足す」を、とびとびの画素でなく、切れ目なく続く場所 x について行ったものです。

級数から変換へ：くり返さない形

くり返さない形（一つだけの山、一回だけの音）はどうするか。くり返しの長さ（周期）をどんどん長くしていくと考えます。周期が長いほど、使う波の細かさが細かい間隔で並び、最後は連続になります。こうしてできるのがフーリエ変換です。下は、山が周期ごとにくり返す形と、その波の強さの並び（スペクトル）です。周期を伸ばしてみてください。

線はどんどん詰まっていき、包む曲線の形は変わりません（線の高さは、周期の長さを掛けてそろえています。本当の強さは周期に反比例して小さくなります）。この曲線が、一つだけの山のフーリエ変換です。くり返す形はフーリエ級数で波は飛び飛び、くり返さない形はフーリエ変換で波はあらゆる細かさ。その間をつなぐのが、この考え方です。

コンピュータの中：離散フーリエ変換と高速フーリエ変換

写真や音は、コンピュータの中では有限個の数の並びです。並びを波に分けるのが離散フーリエ変換で、このページのゲームで写真に使っているのはこれです。そのまま計算すると、N 個の数に N 個の波を当てるので、およそ N² 回の掛け算が要ります。高速フーリエ変換（FFT）は、並びを半分ずつに分けて計算を使い回し、これをおよそ N log N に減らす工夫です。100万個の数なら、掛け算の回数は数万分の一になります。このページの実験も、ブラウザの中で FFT を使って計算しています。

 

棒の長さは桁の数（10 を何回掛けた数か）で描いています。

フーリエ解析は、ほかでも働く

ゲーム2の「ぼかし（畳み込み）は、波に分けると掛け算になる。だから割って戻せる」は、畳み込み定理と呼ばれます（ブログ：畳み込み（合成積）とは（ラプラス変換の場合））。波に分けるという考えは、画像のぼけの外でも使われます。

音

部屋の響きは、音と「響き方の癖」の畳み込み。イコライザーは、音を波に分けて、波ごとに大きさを変える装置です。

医療のCT

体を通ったX線の写真を何方向から撮り、フーリエ変換の性質（投影切断定理）を使って体の断面を組み立てます。

写真の圧縮（JPEG）

写真を小さな区画ごとに cos の波に分け、人の目に目立たない細かい波を省いて小さくします。「細かい縞を消すとぼける」と同じ性質を、目立たない範囲でわざと使う使い方です。

大きな数の掛け算

何百万桁の数の掛け算も、桁の並びの畳み込みなので、FFT を使うと速くなります。

大学ではどう学ぶか

フーリエ解析は、理工系の大学ではたいてい2年生ごろ、「応用数学」「フーリエ解析」「物理数学」などの講義で学びます。工学部なら「信号処理」の講義でも出てきます。

  1. 1
    前提三角関数、微分積分（特に積分）、複素数とオイラーの公式
  2. 2
    フーリエ級数係数の求め方、直交、ギブズ現象、どういう意味で近づくか
  3. 3
    フーリエ変換級数から変換へ、畳み込み定理、逆変換
  4. 4
    使う熱や波の方程式（偏微分方程式）、信号と画像、離散フーリエ変換と FFT

歴史を言えば、フーリエ自身がこの考えを使ったのは、熱が物の中をどう伝わるかを解くためでした（『熱の解析的理論』1822年）。写真や音への応用は、それより後に育ったものです（ブログ：熱方程式の解き方〈フーリエ級数展開／フーリエ変換〉）。下の本は、この順で学べるものを選びました。

もっとちゃんと学ぶなら

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出典

  1. NASA: Hubble's Mirror Flaw science.nasa.gov
  2. NASA Office of Inspector General: NASA Cost and Schedule Overruns: Acquisitions and Program Management Challenges（CT-18-002、2018年6月14日の下院での証言） oig.nasa.gov
  3. NASA: Galaxy M100 Resolution Comparison（1994年1月13日） science.nasa.gov
  4. STScI: The Restoration of HST Images and Spectra II（1993年11月の研究会） stsci.edu
  5. J. E. Krist, R. N. Hook, F. Stoehr: 20 years of Hubble Space Telescope optical modeling using Tiny Tim（Proc. SPIE 8127, 2011） doi.org
  6. L. Furey ほか: Hubble Space Telescope primary-mirror characterization by measurement of the reflective null corrector（Applied Optics 32, 1993） doi.org
  7. A. B. Meinel, M. P. Meinel, D. H. Schulte: Determination of the Hubble Space Telescope effective conic-constant error from direct image measurements（Applied Optics 32, 1993） doi.org
  8. J. R. Fienup ほか: Hubble Space Telescope characterized by using phase-retrieval algorithms（Applied Optics 32, 1993） doi.org
  9. W. H. Richardson: Bayesian-Based Iterative Method of Image Restoration（Journal of the Optical Society of America 62, 55, 1972） doi.org
  10. L. B. Lucy: An iterative technique for the rectification of observed distributions（Astronomical Journal 79, 745, 1974） doi.org
  11. 画像：NASA, ESA, Judy Schmidt — M100の中心部（WFPC1） science.nasa.gov／NASA, ESA, J. DePasquale (STScI) — M100の中心部（WFPC2） science.nasa.gov

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このページは、YouTube チャンネル「趣味の大学数学」の木村すらいむが、AI（Anthropic の Claude）の力を借りて作りました。文章と計算のプログラムは AI が書き、内容は木村すらいむが確かめて公開しています。実験の計算はすべてお使いのブラウザの中で行い、写真や操作の情報をどこにも送りません。

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